プレイモードで対戦開始を選択すると、起動時の酒場の入り口にHEARTH STONEのロゴが出た状態になり、酒場の扉の中央にあるハースストーンの渦巻が青く点滅していますがそのまま15分ほど待ってもスタート画面に移動することはありませんでした。
2/9追記
pcストレージからHEARTH STONEないしBattle netをアンインストールした後に再インストールを行っても改善されませんでした。また、起動画面になる不具合発生の最中、ハースストーンはタスクマネージャーの実行中のプログラムに含まれていませんでした。
テクニカルサポートのAdelinと申します。
該当現象の場合、主に古いキャッシュデータの影響である可能性がございます。下記の手順を追って、データを削除した後再度ご確認お願いいたします。
１．開いているBlizzardのプログラムを閉じます。
２．Ctrl + Shift + Escキーを同時に押してタスクマネージャーを開きます。
３．プロセスタブをクリックします。
４．agent.exeが実行されている場合（Windows 10の場合はBlizzard Update Agent）、これを選択してプロセスの終了をクリックします。
５．キャッシュディレクトリを含むフォルダに移動します。
Windows + Rキーを押して「ファイル名を指定して実行」ダイアログを表示します。
実行フィールドに%ProgramData%と入力して、Enterキーを押します。
６．表示されたディレクトリにBlizzard Entertainmentフォルダがある場合、右クリックして削除を選択します。
７．Battle.netデスクトップアプリを再起動し、再度ゲームを起動します。
もしそれでも改善されない場合は、お手数ですが「システムファイル」と主にお問い合わせお願いいたします。
「システムファイルの入手」
「お問い合わせ先」
https://us.battle.net/support/ja/help