いくつかのトピックを確認しましたが、当該事象に該当しそうなもので、回答がでているものがなく投稿しました。
現在Steam版、Battle.net版いずれもゲーム・サーバーに接続中と出たまま、そもそもゲーム自体を開始ができなくなっています。
セキュリティソフト等の設定も確認しましたが、特にブロックされている様子でもありませんでした。
何か月かぶりにプレイをしようと思ったらこんな状況でしたので、解決策があれば教えていただけると幸いです。
sage様、オーバーウォッチ2をプレイできず、大変もどかしい状況かと思われます。
以下の記事をご参照いただき、問題が改善されるかご確認くださいますようお願い申し上げます。